MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA TENSORIAL DIMENSIONAL DE ANCELMO L. GRACELi [2.060]

EEQ G = ENERGIA ESTATÍSTICA QUÂNTICA DE ANCELMO L. GRACELI.

EEQ G = [Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [MT] [MR] [MEM] [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE ANCELMO L. GRACELI.

MASSA TÉRMICA, [MT]

MASSA ELETROMAGNÉTICA. MEM]

MASSA RADIOATIVA [MR]

VARIAM CONFORME MEIO FÍSICO EM QUE SE ENCONTRAM. E POTENCIAL DE TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES DESTES MEIOS FÍSICOS.

COM VARIAÇÕES DE SPINS E ENERGIAS CONFORME O CITADO ACIMA.

PONTOS CRÍTICOS DE TRANSFORMAÇÕES DAS MASSAS E ENTROPIAS E ENTALPIAS DAS MASSAS VARIAM CONFORME OS MEIOS E POTENCIAIS DE INTERAÇÕES DAS MESMAS.

https://obrasdeancelmoluizgraceli2026.wordpress.com/

MECÂNICA QUÂNTICA POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

FUNDAMENTO.

1 - SE FUNDAMENTA NO POTENCIAL DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES DE ENERGIAS, CAMPOS, ESTADOS E DIMENSÕES DE GRACELI, E MATÉRIA.

2 - E NA RELAÇÃO E INTERAÇÕES DOS ESTADOS E DIMENSÕES DE GRACELI.

3 - E NA RELAÇÃO DE ENTROPIAS POTENCIAIS , E VIBRAÇÕES E MOMENTUNS POTENCIAIS, COMO TAMBÉM NA DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA E BANDAS DOS ELEMENTOS.

UM EXEMPLO CLARO É NAS MUDANÇAS DE ESTADOS FÍSICOS, GASES, E INTERAÇÕES DE CAMPOS.

OU SALTO QUÂNTICOS E FREQUÊNCIAS NOS ÁTOMOS.

EM TERMOS DE AMPLITUDE, E FREQUÊNCIA EXCITAÇÃO HARMÔNICA E POTENCIAL TEMOS>

Onde $F_{0}$ é a amplitude, $\omega$ é a frequência e $\phi$ é o de fase da excitação harmônica. O valor de $\phi$ depende do valor de $F(t)$ em t=0.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [MT] [MR] [MEM] [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [MT] [MR] [MEM] [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de $�$ bósons idênticos de massa $�$ , que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume $�$ , a uma temperatura $�$ , em equilíbrio, o número médio de partículas ${\bar {n}}_{s}$ num estado de energia $�$ é dado por

${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ ,

em que $g_{s}$ é a degenerescência quântica do estado $�$ , $\epsilon _{s}$ é a energia do estado $�$ , $\mu$ é o potencial químico, e $\beta =1/k_{B}T$ , em que $k_{B}$ é a constante de Boltzmann^[1].

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [MT] [MR] [MEM] [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\sum _{r}{\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{r}}+1}}=N$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [MT] [MR] [MEM] [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ $F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Em mecânica estatística, a estatística de Fermi-Dirac é uma estatística quântica que descreve o comportamento de sistemas de partículas com spin semi-inteiro, os férmions. Leva o nome de dois eminentes físicos: Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac cada um dos quais descobriu o método de forma independente (embora Fermi tenha definido as estatísticas antes de Dirac).^[1]^[2] Antes do estudo da estatística de Fermi-Dirac é necessário compreender algumas diferenças entre sistemas clássicos e quânticos. Sistemas clássicos são formados, a priori, por partículas distinguíveis, ou seja, é possível identificar e diferenciar tais partículas individualmente e nestes sistemas os efeitos quânticos são desprezíveis, sendo o sistema descrito pela estatística de Maxwell–Boltzmann. Já sistemas quânticos são formados por partículas indistinguíveis, devido à superposição de suas funções de onda, ou seja é impossível descrevê-las individualmente e neste sistema os efeitos quânticos devem ser considerados. Sistemas quânticos podem ser descritos pelas estatísticas de Fermi-Dirac ou de Bose-Einstein, dependendo do spin das partículas.^[3]^[4]

Formulação matemática

Como as partículas são indistinguíveis na estatística de Fermi-Dirac, a especificação do número de partículas é suficiente para determinarmos o estado do gás. Como os férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, não é possível que mais de uma partícula esteja no mesmo estado, se faz apenas necessário somar sobre todos os números possíveis de partículas em um único estado, ou seja, os dois possíveis valores:^[5]

n_{r}=0,1

para cada

�

Quando o número total de partículas $�$ é fixado, a soma sobre todos os valores possíveis de $n_{r}$ , com $n_{1},n_{2},...$ segue a seguinte relação

\sum _{r}n_{r}=N

Dado um sistema com $�$ férmions em equilíbrio térmico a uma temperatura arbitrária $�$ , o número médio de partículas $<n_{s}>$ em um estado particular $�$ com energia $\epsilon _{s}$ é obtido através da distribuição canônica, logo^[5]

<n_{s}>={\frac {\sum _{n_{s}}n_{s}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}{\sum _{n_{s}}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}}

no qual $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ , sendo $k_{B}$ a constante de Boltzmann. Podemos renomear alguns termos na expressão acima, de forma que obtemos

Z_{s}(N)=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}

Somando sobre $n_{s}$ = 0 e 1, temos

<n_{s}>={\frac {e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)}{Z_{s}(N)+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)}}

ou, ainda, podemos simplificar:

<n_{s}>={\frac {1}{[Z_{s}(N)/Z_{s}(N-1)]e^{\beta \epsilon _{s}}+1}}

Na condição em que $\Delta N\ll N$ , podemos escrever

lnZ_{s}(N-\Delta N)=lnZ_{s}(N)-{\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}\Delta N=lnZ_{s}(N)-\alpha _{s}\Delta N

Z_{s}(N-\Delta N)=Z_{s}(N)e^{-\alpha _{s}\Delta N}

com $\alpha _{s}={\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}$ . Como $Z_{s}(N)$ é uma soma sobre muitos estados, a variação de seu logaritmo com o número de partículas total $�$ não é afetado por qual estado particular $�$ foi omitido no somatório. Portanto, podemos fazer uma aproximação em que $\alpha _{s}$ é independente de $�$ :

\alpha _{s}=\alpha

Ainda, podemos aproximar $\alpha$ em termos da derivada da função partição $\mathrm {Z} (N)$ sobre todos os estados, assim:^[5]

\alpha ={\frac {\partial ln\mathrm {Z} }{\partial N}}

Se utilizarmos $\Delta N=1$ na aproximação, encontraremos a distribuição de Fermi-Dirac:^[5]

<n_{s}>={\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{s}}+1}}

Ainda, o parâmetro $\alpha$ pode ser determinado pela primeira condição feita nesta dedução, em que

\sum _{r}<n_{r}>=N

\sum _{r}{\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{r}}+1}}=N

Da relação entre a função partição $�$ e a energia livre de Helmholtz $�$ , sabemos que $F=-k_{B}Tln\mathrm {Z}$ , logo:

\alpha =-{\frac {1}{k_{B}T}}{\frac {\partial F}{\partial N}}=-{\frac {\mu }{kT}}

\alpha =-\beta \mu

onde $\mu$ é o potencial químico. Então outra forma de se definir a distribuição de Fermi-Dirac é:^[5]

<n_{s}>={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+1}}

Quando os níveis de energia são muito próximos, de modo que podemos considerar que formam um contínuo, o número médio de partículas com energia entre $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ , pode ser escrito como^[5]

n(\epsilon )=g(\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon

Onde $g(\epsilon )$ é a densidade de estados, de modo que $g(\epsilon )d\epsilon$ fornece o número de estados com energia entre $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ . E $F(\epsilon )$ é a chama função de Fermi, dada por^[5]

$F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$

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